المعادلات التفاضلية

في الرياضيات, المعادلة التفاضلية هي معادلة تحوي مشتقات وتفاضلات لبعض الدوال الرياضية وتظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة. ويكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقاتها هذه المعادلات. تبرز المعادلات التفاضلية بشكل كبير في تطبيقات الفيزياء والكيمياء، وحتى النماذج الرياضية المتعلقة بالعمليات الحيوية والاجتماعية والاقتصادية.
تعرف رتبة المعادلة التفاضلية على أنها أعلى رتبة لمشتق موجود في هذه المعادلة : فإذا حوت المعادلة مشتق أول ومشتق ثان فقط تعتبر من الرتبة الثانية... وهكذا.
المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى تحتوي على مشتقات أولي فقط.
وتعرف درجة المعادلة : بأنها الأس (القوة) التي رفع إليها أعلى تفاضل في المعادلة.

محتويات

 [أخف] 

• 1 طرق حل المعادلات التفاضلية
• 2 درجة المعادلة التفاضلية
• 3 أنواع المعادلات التفاضلية
  • 3.1 العادية والجزئية
  • 3.2 الخطية وغير الخطية
  • 3.3 أمثلة
• 4 معادلات تفاضلية بارزة
  • 4.1 في الفيزياء والهندسة
  • 4.2 في علم الاحياء
  • 4.3 في الاقتصاد
• 5 انظر أيضا
• 6 وصلات خارجية

طرق حل المعادلات التفاضلية[عدل]

توجد طرق عديدة لحل المعادلات التفاضلية منها:

• بعض الطرق المستخدمة لحل المعادلات التفاضلية من الرتبةالأولى:

1. الفصل : و ذلك بفصل المتغيرات x,dx في جهة و y,dy في جهة أخرى في جانبي المعادلة و من ثم القيام بمكاملة الطرفين لتحصل على حل على شكل دالة عادية y=f(x)
2. التعويض
3. المعادلات الخطية
4. برنولي

• بعض الطرق المستخدمة لحل المعادلات التفاضلية من الرتبة n :

1. اختزال الرتبة.
2. تحديد المعاملات.
3. مبادلة المتغيرات
4. طريقة كوشي-أويلر لحل المعادلات التي فيها رتبة المشتقة هو نفسه أس معاملها
5. طريقة المتتابعات الأسية

ويوجد أكثر من أسلوب للحل العددي وكذلك التحليلي. كما توجد معادلات مشهورة مثل معادلات لابلاس وبرنولي وغيرهم.

درجة المعادلة التفاضلية[عدل]

تتحدد درجة المعادلة التفاضلية حسب أس المشتق ذو الرتبة الأعلى. مثلا إذا كانت المعادلة التفاضلية من الرتبة الثالثة، أي أن أعلى تفاضل فيها هو التفاضل الثالث، فدرجة المعادلة تتحدد حسب أس هذا التفاضل، فإذا كان مرفوعا للأس 5 مثلا تكون المعادلة من الدرجة الخامسة، وهكذا.

أنواع المعادلات التفاضلية[عدل]

العادية والجزئية[عدل]

يمكن تقسيم المعادلات التفاضلية إلى قسمين :

• معادلات تفاضلية اعتيادية تحتوي على توابع ذات متغير مستقل واحد ومشتقات هذا المتغير.
• معادلات تفاضلية جزئية تحتوي دوال رياضية لأكثر من متغير مستقل مع مشتقاتها الجزئية .

الخطية وغير الخطية[عدل]

كل من المعادلات التفاضلية العادية والجزئية يمكن أن تصنف إلى خطية وغير خطية. وتكون المعادلة التفاضلية خطية بشرطين :

1. إذا كانت معاملات المتغير التابع والمشتقات فيها دوال في المتغير المستقل فقط أو ثوابت.
2. إذا كان المتغير التابع والمشتقات غير مرفوعة لأسس، أي كلها من الدرجة الأولى.

وتكون غير خطية فيما عدا ذلك.
كل معادلة تفاضلية خطية هي من الدرجة الأولى، بينما ليست كل المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى هي خطية، لأن الدرجة تتحدد حسب أس التفاضل الأعلى، ومن الممكن أن تكون التفاضلات الأقل مرفوعة لأسس غير الواحد دون أن يؤثر ذلك على الدرجة، وهذا يخل بشرط المعادلة الخطية.
معادلة برنولي معادلة من الرتبة الأولى والدرجة الأولى وليست معادلة خطية: n≠1

أمثلة[عدل]

معادلات تفاضلية بارزة[عدل]

في الفيزياء والهندسة[عدل]

• قانون نيوتن الثاني في ديناميكا (ميكانيكا),
• معادلة أويلر-لاغرنج في الميكانيكا الكلاسيكية,
• معادلات هاميلتون في الميكانيكا الكلاسيكية,
• معادلة شرودنغر في ميكانيكا ا

•